Begay werd op 11 januari 1954 geboren in Tuba City, Arizona. Hij groeide op in het Navajo-reservaat, waar hij van zijn ouders en grootouders leerde over de traditionele Navajo-cultuur. Begay begon op jonge leeftijd met tekenen en schilderen en hij besefte al snel dat hij talent voor kunst had.
Na zijn afstuderen aan de middelbare school studeerde Begay kunst aan het Institute of American Indian Arts in Santa Fe, New Mexico. Vervolgens studeerde hij aan de Universiteit van Arizona, waar hij een Bachelor of Fine Arts-graad behaalde.
Begay's schilderijen tonen een verscheidenheid aan onderwerpen, waaronder Navajo-ceremonies, rituelen en het dagelijks leven. Zijn werk wordt gekenmerkt door levendige kleuren, ingewikkelde patronen en een sterk gevoel voor spiritualiteit. Begay's schilderijen worden geprezen om hun schoonheid, hun culturele betekenis en hun vermogen om de essentie van het Navajo-leven vast te leggen.
Begay's werk is tentoongesteld in musea en galerijen over de hele wereld, waaronder het Smithsonian Institution, het Heard Museum en het Museum of Modern Art. Hij heeft ook talloze prijzen ontvangen, waaronder de National Endowment for the Arts Fellowship, de Arizona Governor's Arts Award en de Native American Art Awards.
Begay's werk blijft kijkers inspireren en informeren over de Navajo-cultuur. Hij wordt beschouwd als een van de belangrijkste Indiaanse kunstenaars van zijn generatie.
Begay stierf op 17 augustus 2012 in Tuba City, Arizona aan kanker. Hij was 58 jaar oud.