Hij werd geboren als Richard Ernest Parkes Bartram in Londen, Engeland. Hij studeerde aan de Hendon School en was vanaf jonge leeftijd geïnteresseerd in acteren. Nadat hij tijdens de Tweede Wereldoorlog bij de Royal Air Force had gediend, volgde hij een opleiding aan de Royal Academy of Dramatic Art (RADA).
Na zijn afstuderen aan de RADA begon Barton zijn acteercarrière in repertoiretheater en trad hij op in producties in het Birmingham Repertory Theatre en de Old Vic. In 1949 maakte hij zijn West End-debuut in een productie van "Richard II". Hij verscheen vervolgens in vele andere West End-producties, waaronder "Hamlet", "Macbeth" en "Othello".
Barton had ook een succesvolle filmcarrière en verscheen in films als "The Dam Busters" (1955), "The Longest Day" (1962) en "The Charge of the Light Brigade" (1968). Hij verscheen ook in verschillende televisieproducties, waaronder "The Age of Kings" (1960) en "The Forsyte Saga" (1967) van de BBC.
Naast zijn acteercarrière was Barton ook regisseur en producer. Hij regisseerde vele producties voor de Royal Shakespeare Company, waaronder "Hamlet", "Macbeth" en "King Lear". Hij regisseerde ook verschillende producties voor het National Theatre, waaronder "The Cherry Orchard" en "The Seagull".
Barton was van 1949 tot 1951 getrouwd met actrice Anne Baxter. Later trouwde hij in 1960 met actrice Natasha Parry. Hij kreeg drie kinderen:een zoon, Morgan, en twee dochters, Demelza en Lucy.
Barton stierf op 5 april 2000 op 74-jarige leeftijd aan kanker.