Poche werd opgesteld door de Angels in de tweede ronde van het ontwerp van 1986. Hij maakte zijn Major League-debuut bij de Angels in 1989 en bracht het grootste deel van de volgende drie seizoenen door bij het team. In 1992 werd hij geruild naar de Reds, waar hij de volgende vier seizoenen doorbracht. Hij beëindigde zijn Major League-carrière bij de Padres in 1996.
In totaal boekte Poche een record van 53-52 met een ERA van 4,26 in 157 carrièrewedstrijden. Hij schakelde 535 slagmensen met drie slag uit in 923 gegooide innings.
Nadat hij zich had teruggetrokken uit het honkbal, werd Poche pitching-coach. Hij heeft gewerkt in de minor league-systemen van de Angels, Reds en Seattle Mariners. Momenteel is hij pitchingcoach voor de Louisville Bats, het Triple-A-filiaal van de Cincinnati Reds.